复数的基本概念

1.1 实数与复数

数并不是自然界本身便存在的事物，而是人类对自然界的认识和表征的手段。没有人类，也就没有我们现在所使用的数的概念（《三体》中地外文明留下了一个墓地，当银河系人类将罗塞塔系统发送给墓地之后，墓地给出了一个解读的进度条，使用点的数量来表示数，说明该文明中有类似我们所使用的数的概念，但是具体的符号和表征却有所不同）。

对数集及其扩充的讨论有很多种理解方法。我们这里采用的是从集合论的角度，基于运算以及逆运算的封闭性的思路，从自然数集开始推广到复数集。

人类对数的认识从自然数开始。0是一个特殊的数，从数论的角度来说，它不是自然数。但是从集合论的角度来说，0是自然数（自然数集合中需要一个0元素）。在自然数的基础上可以定义加法和乘法（在定义加法的时候，0这个数字非常重要，因为自然数中的任意一个元素和0的和仍然是自身）。并且加法和乘法对于自然数集合是封闭的，也即

\[ \begin{aligned} & \forall a, b\in \mathbb{N}, \\ \text{s. t. }\quad & a+b\in\mathbb{N},\quad a\cdot b \in \mathbb{N} \end{aligned} \]

有了加法之后，一个很自然的需求是其逆运算，也即如果 $a$ 和某一个自然数的和是 $s$ ，该如何计算这个自然数？因此便有了减法的定义

\[ b = s - a, \text{iff } a + b = s \]

立刻可以发现，减法对自然数 $\mathbb{N}$ 不是封闭的。如果 $a < b$ ，则不存在一个自然数 $c$ 使得 $c = a - b$。因此，我们引入负数的概念，将自然数集扩充到整数 $\mathbb{Z}$ 。加法和减法运算对于整数来说都是封闭的。

\[ \begin{aligned} &\forall a, b\in \mathbb{Z}, \\ \text{s. t.}\quad& a - b\in\mathbb{Z} \end{aligned} \]

乘法的逆运算是除法，除法运算对于整数集是不封闭的。为了保证除法运算的封闭性，需要引入分数（也即有理数） $\mathbb{Q}$ 的概念。所谓有理数，可以写成两个整数的商的形式

\[ a \in \mathbb{Q}, \text{ iff } \exists p, q \in\mathbb{Z}, \text{s. t. } a = \frac{p}{q} \]

另一方面，从乘法运算可以引出乘方运算（也即幂运算），幂运算对于有理数是封闭的。而其逆运算对于有理数是不封闭的，由此可以引入无理数的概念。无理数概念的建立牵扯出了人类的第一次数学危机。有理数和无理数的总和称为实数 $\mathbb{R}$ 。实数概念的建立非常重要，人类很快发现实数可以和数轴上的点一一对应。这是数形结合的一次重要落地。

但是实数集上，开方运算仍然不是封闭的。负数没有偶数次根。为了解决开方运算的封闭性问题，虚数的概念逐渐建立起来

\[ \imath = \sqrt{-1} \]

借助虚数单位 $\imath$ 我们终于可以对任意的数做任意次开方运算了。实数和虚数共同构成了复数 $\mathbb{C}$ 。

所谓虚数，其字面意思是虚无缥缈的数。与之相对的实数则是实际存在的数。但是，借用黎曼的一句话，当我们建立复数的概念之后，许多原本复杂繁琐的概念立刻变得优雅而清晰！

总结

复数 $z = a + \imath b$
- 实数 $b = 0$
  - 有理数 $a = \frac{p}{q}, p,q\in \mathbb{Z}$
    - 整数
    - 分数
  - 无理数
- 虚数 $b \ne 0$
  - 纯虚数 $a = 0$
  - 非纯虚数 $a \ne 0$

复数的运算满足三大运算定律：

交换律： $z_1 + z_2 = z_2 + z_1, \quad z_1z_2 = z_2z_1$
结合律： $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3), \quad (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3)$
交换律： $z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3,\quad (z_1 + z_2)z_3 = z_1z_3 + z_2z_3$

复数通常可以使用两个实数来表示，分别称为实部和虚部。因此复数也被称为“二元数”。我们可以构造更加复杂的数，但是其上定义的乘法无法满足上述三条运算定律，必须放弃至少一条。目前有相关的理论放弃乘法的交换律（这个结果有点类似矩阵？），构造出四元数、八元数等，在特定的领域中可以取得较好的结果。

1.2 复数的定义和运算规则

前述复数的引入是从数系中运算的封闭性论述的。下面我们需要给出关于复数的严格定义，从而构建一个自洽的复数系统。

复数的定义

设有一对有序实数对 $(a, b), a,b\in\mathbb{R}$ ，遵循以下加法和乘法规则：

$(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)$
$(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)$

则称有序实数对 $(a,b)$ 定义了一个复数（二元数），记为 $\alpha = (a,b) = a(1,0) + b(0, 1)$ 。 $a,b$ 分别称为复数的实部和虚部。

可以验证，这样定义的复数满足前述的三大运算定律。

注意，在上述复数的定义中，我们还没有正式引入虚数单位 $\imath$ ，也没有利用 $\imath^2 = -1$ 的知识。

可以注意到 $$ (a, b) + (0, 0) = (a, b),\quad (0, 0)(a, b) = (0, 0) $$ 因此， $(0, 0)$ 在复数中的作用类似 $0$ 在实数中的作用。通常也将 $(0, 0)$ 直接记为 $0$ 。

又有 $$ (1, 0)(1, 0) = (1, 0),\quad(a, b)(1, 0) = (a, b) $$ 因此， $(1, 0)$ 在复数中的作用类似 $1$ 在实数中的作用。通常也将 $(1, 0)$ 直接记为 $1$ 。

由上述复数定义中的乘法规则可以得到 $$ (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1 $$ 这样，我们正式引入了虚数单位的概念 $$ \imath = (0, 1) $$ 因此， $\imath^2 = -1$ 是前述复数定义的一个自然的推论。

复数的代数表示

前面我们提到可以将 $(1, 0)$ 表示为 $1$ ，可以将 $(0, 1)$ 表示为 $\imath$ 。因此，复数可以表示为 $$ \alpha = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a\cdot 1 + b\cdot \imath = a + \imath b $$ 以上表示方法称为复数的代数表示。

根据 $\imath^2 = -1$ 这一结论，可以简单地使用实数的运算法则进行复数运算。

复数的共轭

称 $\alpha^* = a - \imath b$ 与复数 $\alpha = a + \imath b$ 互为共轭复数。

有 $$ \alpha \alpha^ = a^2 + b^2 $$ 复数的模*

称 $$ \lvert \alpha \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} $$ 为复数的模。

复数不能比较大小，但是复数的模可以比较大小。

1.3 复数的几何表示

实数和数轴上的点有一一对应关系。

复数由一对有序实数对构成，因此可以建立复数与两个数轴之间的一一对应关系。通常设两个数轴互相垂直，构成一个复平面。复数与复平面上的点为一一对应关系。